过圆C：（x-1）2+（y-1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S1+S4=S2+S3则直线AB有条．

Question

过圆C：（x-1）²+（y-1）²=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S₁+S₄=S₂+S₃则直线AB有 ______条．

Answer 1

设∠BAO=x，则x∈（0，(π)/(2)），设f（x）=（S₁+S₄）-（S₂+S₃），
那么x在增大的时候（即直线AB顺时针旋转的过程中），S₁+S₄递减，S₂+S₃递增，所以f（x）递减；
又，x接近0时S₁+S₄＞S₂+S₃，所以f（x）＞0；x接近(π)/(2)时S₁+S₄＜S₂+S₃，所以f（x）＜0，
所以f（x）=0即S₁+S₄=S₂+S₃，在（0，(π)/(2)）上只有一个x使之成立，
所以符合题意的直线AB有且只有一条
故答案为：1