已知抛物线y=-x2+mx-n的对称轴为x=-2，且与x轴只有一个交点．（1）求m，n的值；（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；（

Question

已知抛物线y=-x²+mx-n的对称轴为x=-2，且与x轴只有一个交点．

（1）求m，n的值；
（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；
（3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使△BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线的对称轴为x=-2，
∴m=-4．
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴m²-4n=0．
∴n=4．
（2）∵m=-4，n=4，
∴y=-x²-4x-4．
∴y=-（x+2）²．
∴抛物线C的解析式为　y=x²-1．
（3）假设点D存在，设D（a，b）．
作DH⊥y轴于点H，如图；
则DH=|a|，BH=|b-1|．
由△DPB为等边三角形，
得Rt△DHB中，∠HBD=60°．
∴tan60°=(DH)/(BH)．
∴√(3)=(|a|)/(|b-1|)．
∴a²=3（b-1）²．
∵D（a，b）在抛物线C上，
∴b=a²-1．
∴b=3（b-1）²-1．
∴b=2或b=(1)/(3)．
∴a=±√(3)或a=±(2√(3))/(3)．
∴满足条件的点存在，分别为D1(√(3)，2)，D2(-√(3)，2)，D3((2√(3))/(3)，(1)/(3))，D4(-(2√(3))/(3)，(1)/(3))．