等腰Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．（1）如图1，求证：∠BCO=∠CAO（2）如图2，若OA=5，OC=2，求B点的坐标（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA=18

Question

等腰Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．

（1）如图1，求证：∠BCO=∠CAO
（2）如图2，若OA=5，OC=2，求B点的坐标
（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S_△CQA=18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．

Answer 1

（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠AOC=90°，
∴∠BCO+∠ACO=90°=∠CAO+∠ACO，
∴∠BCO=∠CAO；

（2）如图2，过点B作BD⊥y轴于D，则∠CDB=∠AOC=90°，
在△CDB和△AOC中，

∠CDB=∠AOC

∠BCO=∠CAO

BC=AC

，
∴△CDB≌△AOC（AAS），
∴BD=CO=2，CD=AO=5，
∴OD=5-2=3，
又∵点B在第三象限，
∴B（-2，-3）；

（3）OP的长度不会发生改变．
理由：如图3，过N作NH∥CM，交y轴于H，则
∠CNH+∠MCN=180°，
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，
∴∠MCQ+∠ACN=180°，
∴∠ACQ+∠MCN=360°-180°=180°，
∴∠CNH=∠ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO=90°=∠QAC+∠ACO，
∴∠HCN=∠QAC，
在△HCN和△QAC中，

∠CNH=∠ACQ

CN=AC

∠HCN=∠QAC

，
∴△HCN≌△QAC（ASA），
∴CH=AQ，HN=QC，
∵QC=MC，
∴HN=CM，
∵点C（0，3），S_△CQA=18，
∴(1)/(2)×AQ×CO=18，即(1)/(2)×AQ×3=18，
∴AQ=12，
∴CH=12，
∵NH∥CM，
∴∠PNH=∠PMC，
∴在△PNH和△PMC中，

∠HPN=∠CPM

∠PNH=∠PMC

HN=CM

，
∴△PNH≌△PMC（AAS），
∴CP=PH=(1)/(2)CH=6，
又∵CO=3，
∴CP=3+6=9（定值），
即OP的长度始终是9．