已知抛物线y=x2-2bx+c（c＞0）与y轴的交点为A，顶点为M（m，n）．（1）若c=2b-1，点M在x轴上，求c的值．（2）若直线y＝−12x+t过点A，且与x轴交点为B，直线和抛物线的另一交点为P，且P为线段AB

Question

已知抛物线y=x²-2bx+c（c＞0）与y轴的交点为A，顶点为M（m，n）．
（1）若c=2b-1，点M在x轴上，求c的值．
（2）若直线y＝−(1)/(2)x+t过点A，且与x轴交点为B，直线和抛物线的另一交点为P，且P为线段AB的中点．当n取得最大值时，求抛物线的解析式．

Answer 1

（1）把c=2b-1代入y=x²-2bx+c得：y=x²-2bx+2b-1，
∴M（m，n）的坐标为M(b，(8b−4−4b2)/(4))，
∵M在x轴上，
∴(8b−4−4b2)/(4)＝0，即b²-2b+1=0，
解得：b=1，
∴c=2b-1=1．
（2）过P作PD⊥x轴，
∵A（0，c），
∴y＝−(1)/(2)x+c，
∴B（2c，0），
∴x2−2bx+c＝−(1)/(2)x+c，即x2＝2bx−(1)/(2)x，
解得：x1＝0，x2＝2b−(1)/(2)，
∵PD∥AD，
∴(BP)/(AP)＝(BD)/(OD)，
∵P为AB中点，
∴(BD)/(OD)＝1，
∴OD=c，
∴c＝2b−(1)/(2)，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2bx+2b-(1)/(2)，
∴n＝(4ac−b2)/(4a)=(8b−2−4b2)/(4)=−(b2−2b)−(1)/(2)=−(b−1)2+(1)/(2)，
∵-1＜0，
∴二次函数开口向下，存在最大值，
∴当b=1时，n的最大值为(1)/(2)，
∴c＝(3)/(2)，
∴y＝x2−2x+(3)/(2)．