若对任意的k在-1,1上,函数f（x）=x^2+(k-4)x-2k+4的最小值为正数,求x的值?

Question

若对任意的k在【-1,1】上,函数f（x）=x^2+(k-4)x-2k+4的最小值为正数,求x的值?

Answer 1

f(x)=x^2+(k-4)x-2k+4的值恒大于0
开口向上,对称轴x=-(k-4)/2=2-k/2
∵f（k)=2-k/2 （ k∈[-1,1]）是减函数
∴当k=-1时,对称轴在最右边,当k=1时,对称轴在最左边
为了使函数f（x）=x²+（k-4）x-2k+4的值恒大于0,所以：
k=-1时x必须大于图形与x轴的右交点；
k=1时x必须小于图形与x轴的左交点.
（1）当k=-1时,f(x)=x^2+(-1-4)x-2*(-1)+4=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
k=-1时x必须大于图形与x轴的右交点
∴x＞3
（2）当k=1时,f(x)=x^2+(1-4)x-2*1+4=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
k=1时x必须小于图形与x轴的左交点
∴x＜1
综上x∈（-∞,1),（3,+∞）