求由曲线y=x^4+1在x=1处的切线及两坐标轴围成的图形的面积.

Question

求由曲线y=x^4+1在x=1处的切线及两坐标轴围成的图形的面积.

Answer 1

(1)Y=x^3-3x^2+2x,当x=1时,y=1-3+2=0,切点是（1,0）,再由曲线C的方程对其求导y'=3x^2-6x+2,切线L1的斜率K=3*1-6*1+2=-1,所以切线L1的方程y-0=-1(x-1),整理得x+y-1=0.
(2)直线L2与曲线相切于（ m,n）,把这个点分别代入
和直线方程中得m^3-3m^2+2m=n(1)和km=n(2),曲线在x=m处的导数就是直线y=Kx的斜率,即3m^2-6m+2=K(3),由（1）（2）（3）解得m=0,k=2,n=0或者同m=3/2,k=-1/4,n=-3/8,所以直线L2的方程为y=2x,切点（0,0）或者
y=(-1/4)x,切点(3/2,-3/8)
(3)解L1与L2方程组解得一种情况交点A(1/3,2/3),另一种情况是A(4/3,8/3),L1与X轴交于(1,0),所以三角形AB0的面积S=1/2*1*(2/3)=1/3或者S=1/2*1*8/3=4/3