范德蒙德行列式推论的证明?书上的证明不用的是一个特例吗?它是令第i行与第j行相等,怎么能推广到一般呢?

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范德蒙德行列式推论的证明?书上的证明不用的是一个特例吗?
它是令第i行与第j行相等,怎么能推广到一般呢?

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答案和解析

你指的是行列式的展开定理的推论吧.
它的证明是引入辅助行列式D1.
D1的元素第j行是原行列式D中第i行的元素,其余元素都相等.
一方面,因为有两行相等,所以 D1=0.
另一方面,D1按第j行展开得 D1=ai1Aj1+...+ainAjn
故有 ai1Aj1+...+ainAjn = 0.
这里需注意的是 D中第j行元素的代数余子式与 D1中第是行元素的代数余子式对应相等 (不同的第j行被删掉了) ,这是关键!
所以原行列式中也有 ai1Aj1+...+ainAjn = 0.

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