向量空间证明题怎么证明?设α1,α2...,αn和β1,β2,...βn是n维列向量空间R^n的两个基,证明：向量集合 V={α∈R^n|α=∑(i=1到n)kiαi=∑(i=1到n)kiβi}是R^n的子空间.

Question

向量空间证明题
怎么证明?
设α1,α2...,αn和β1,β2,...βn是n维列向量空间R^n的两个基,证明：向量集合
V={α∈R^n|α=∑(i=1到n)kiαi=∑(i=1到n)kiβi}是R^n的子空间.

Answer 1

显然V是R^n的非空子集,只要证明V中元素满足线性性就可以了.
设a=k1a1+...+knan=k1b1+...+knbn属于V
b=t1a1+...+tnan=t1b1+...+tnbn属于V
k是数,
于是
k*a=k*k1a1+...+k*knan=k*k1b1+...+k*knbn
a+b=(k1+t1)a1+...+(kn+tn)an=(k1+t1)a1+...+(kn+tn)an
所以k*a和a+b都属于V
所以V是R^n的子空间