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已知f(x+y)=f(x)乘以f(y),且f(x)不等于0,证明f(x)>0
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已知f(x+y)=f(x)乘以f(y),且f(x)不等于0,证明f(x)>0
▼优质解答
答案和解析
令x=y=0,则f(0+0)=f(0)f(0),由f(x)不等于0,则f(0)=1>0.
令x=-y,则1=f(0)=f(x+y)=f(x)f(y)=f(x)f(-x),知
f(x)与f(-x)同号.
只须证当x>0时,f(x)>0.
对于任意x>0,令t=x/2,显然t>0.
则f(x)=f(t+t)=f(t)f(t)=f(t)^2
由于对于任意的t,f(t)不等于0.
则f(x)=f(t)^2>0.
故命题得证.
令x=y=0,则f(0+0)=f(0)f(0),由f(x)不等于0,则f(0)=1>0.
令x=-y,则1=f(0)=f(x+y)=f(x)f(y)=f(x)f(-x),知
f(x)与f(-x)同号.
只须证当x>0时,f(x)>0.
对于任意x>0,令t=x/2,显然t>0.
则f(x)=f(t+t)=f(t)f(t)=f(t)^2
由于对于任意的t,f(t)不等于0.
则f(x)=f(t)^2>0.
故命题得证.
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