如图，折叠边长为a的正方形ABCD，使点C落在边AB上的点M处（不与点A，B重合），点D落在点N处，折痕EF分别与边BC、AD交于点E、F，MN与边AD交于点G．证明：（1）△AGM∽△BME；（2）若M为AB中点

Question

如图，折叠边长为a的正方形ABCD，使点C落在边AB上的点M处（不与点A，B重合），点D落在点N处，折痕EF分别与边BC、AD交于点E、F，MN与边AD交于点G．证明：

（1）△AGM∽△BME；
（2）若M为AB中点，则(AM)/(3)=(AG)/(4)=(MG)/(5)；
（3）△AGM的周长为2a．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠AMG+∠AGM=90°，
∵EF为折痕，
∴∠GME=∠C=90°，
∴∠AMG+∠BME=90°，
∴∠AGM=∠BME，
在△AGM与△BME中，
∵∠A=∠B，∠AGM=∠BME，
∴△AGM∽△BME；
（2）∵M为AB中点，
∴BM=AM=(a)/(2)，
设BE=x，则ME=CE=a-x，
在Rt△BME中，∠B=90°，
∴BM²+BE²=ME²，即（(a)/(2)）²+x²=（a-x）²，
∴x=(3)/(8)a，
∴BE=(3)/(8)a，ME=(5)/(8)a，
由（1）知，△AGM∽△BME，
∴(AG)/(BM)=(GM)/(ME)=(AM)/(BE)=(4)/(3)，
∴AG=(4)/(3)BM=(2)/(3)a，GM=(4)/(3)ME=(5)/(6)a，
∴(AM)/(3)=(AG)/(4)=(MG)/(5)；
（3）设BM=x，则AM=a-x，ME=CE=a-BE，
在Rt△BME中，∠B=90°，
∴BM²+BE²=ME²，即x²+BE²=（a-BE）²，
解得：BE=(a)/(2)-(x2)/(2a)，
由（1）知，△AGM∽△BME，
∴(C△AGM)/(C△BME)=(AM)/(BE)=(2a)/(a+x)，
∵C_△BME=BM+BE+ME=BM+BE+CE=BM+BC=a+x，
∴C_△AGM=C_△BME•(AM)/(BE)=（a+x）•(2a)/(a+x)=2a．