如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求AE的长；（2）求经过O

Question

如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

（1）求AE的长；
（2）求经过O、D、C三点的抛物线的解析式；
（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵CE=CB=OA=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，OE=√(CE2-CO2)=3，
∵OE=3，
∴AE=5-3=2，
（2）在Rt△ADE中，设AD=m，则DE=BD=4-m，由勾股定理，得
AD²+AE²=DE²，
即m²+2²=（4-m）²，
解得m=(3)/(2)，
∴D（-(3)/(2)，-5），
∵C（-4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），
∴-5=-(3)/(2)a（-(3)/(2)+4），
解得a=(4)/(3)，
∴抛物线解析式为y=(4)/(3)x（x+4）=(4)/(3)x²+(16)/(3)x； 
（3）∵抛物线的对称为直线x=-2，
∴设N（-2，n），
又由题意可知C（-4，0），E（0，-3），设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，如图1，
，
则线段EN的中点
横坐标为(0+(-2))/(2)=-1，线段CM中点横坐标为(m+(-4))/(2)，
∵EN，CM互相平分，
∴(m+(-4))/(2)=-1，解得m=2，
又M点在抛物线上，
∴y=(4)/(3)×2²+(16)/(3)×2=16
∴M（2，16）；     
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，如图2，
，
则线段EM的中点，
横坐标为(m+0)/(2)，线段CN中点横坐标为((-2)+(-4))/(2)=-3，
∵EN，CM互相平分，
∴(m)/(2)=-3，解得m=-6，
又∵M点在抛物线上，
∴y=(4)/(3)×（-6）²+(16)/(3)×（-6）=16，
∴M（-6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，如图3，
，
m+（-2）=-5+0，
解得m=-3，
当m=-3时，y=(4)/(3)×（-3）²+(16)/(3)×（-3）=-4，
即M（-3，-4）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（-6，16）或（-3，-4）．