如图，在矩形ABCD中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求OE的长及经过O，D，C三点

Question

如图，在矩形ABCD中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，OE=3，
设AD=m，则DE=BD=4-m，
∵OE=3，
∴AE=5-3=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD²+AE²=DE²，即m²+2²=（4-m）²，解得m=(3)/(2)，
∴D（-(3)/(2)，-5），
∵C（-4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），
∴-5=-(3)/(2)a（-(3)/(2)+4），解得a=(4)/(3)，
∴抛物线解析式为y=(4)/(3)x（x+4）=(4)/(3)x²+(16)/(3)x；
（2）∵CP=2t，
∴BP=5-2t，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，

DP=DQ

BD=ED

，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP=EQ，
∴5-2t=t，
∴t=(5)/(3)；
（3）∵抛物线的对称为直线x=-2，
∴设N（-2，n），
又由题意可知C（-4，0），E（0，-3），
设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为(0+(-2))/(2)=-1，线段CM中点横坐标为(m-4)/(2)，
∵EN，CM互相平分，
∴(m-4)/(2)=-1，解得m=2，
又M点在抛物线上，
∴y=(4)/(3)×2²+(16)/(3)×2=16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为(m+0)/(2)，线段CN中点横坐标为(-2-4)/(2)=-3，
∵EN，CM互相平分，
∴(m)/(2)=-3，解得m=-6，
又∵M点在抛物线上，
∴y=(4)/(3)×（-6）²+(16)/(3)×（-6）=16，
∴M（-6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（-2，-(16)/(3)）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（-6，16）或（-2，-(16)/(3)）．