如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE=2-1；②图中共有4对全等三角

Question

如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE=

√(2)-1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S_{四边形DFEP}=S_△APF．正确的个数是（　　）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

Answer 1

①正确．作EM∥AB交AC于M．
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAE=∠BAE=(1)/(2)∠CAB=22.5°，
∴∠MEA=∠EAB=22.5°，
∴∠CME=45°=∠CEM，设CM=CE=a，则ME=AM=√(2)a，
∴tan∠CAE=(CE)/(AC)=(a)/(a+√(2)a)=√(2)-1，故①正确，
②正确．△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF，故②正确，
③正确．∵△PEC≌△PEF，
∴∠PCE=∠PFE=45°，
∵∠EFA=∠ACE=90°，
∴∠PFA=∠PFE=45°，
∴若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上，故③正确．
④正确．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°-∠CAE=67.5°，
∴∠CPE=∠CEP，
∴CP=CE，故④正确，
⑤错误．∵△APC≌△APF，
∴S_△APC=S_△APF，
假设S_△APF=S_{四边形DFPE}，则S_△APC=S_{四边形DFPE}，
∴S_△ACD=S_△AEF，
∵S_△ACD=(1)/(2)S_△ABC，S_△AEF=S_△AEC≠(1)/(2)S_△ABC，
∴矛盾，假设不成立．
故⑤错误．