一元二次方程的公共根...是否存在整数a使下列三个方程[1]x^2+2x+a=0[2]2x^2+ax+1=0[3]ax^2+x+2=0有且只有一个公共实根?如果有,求出整数a和公共根 如果不存在,说明理由.

Question

一元二次方程的公共根...
是否存在整数a使下列三个方程[1]x^2+2x+a=0[2]2x^2+ax+1=0[3]ax^2+x+2=0有且只有一个公共实根?如果有,求出整数a和公共根 如果不存在,说明理由.

Answer 1

假设存在,设此根是b
b^2+2b+a=0
2b^2+ab+1=0
ab^2+b+2=0
相加(a+3)b^2+(a+3)b+(a+3)=0
(a+3)(b^2+b+1)=0
因为b^2+b+1=0无实数解
所以a+3=0
a=-3
x^2+2x-3=0
2x^2-3x+1=0
-3x^2+x+2=0
这三个方程有唯一的公共根
x=1
所以a=-3,x=1