各位高手快来吧!分解因式题(a+b+c)5-a5-b5-c5分解因式5是5次方需要一下过程

Question

各位高手快来吧!分解因式题
(a+b+c)5-a5-b5-c5 分解因式 5是5次方
需要一下过程

Answer 1

这是五次对称多项式,易发现,
当a=-b时,原多项式为0 ,
所以原多项式含有因式a+b,
由于是对称多项式,则必还含有因式b+c,c+a.
即含有因式（a+b)(b+c)(c+a),
从次数上看,原多项式还应含有一个2次对称多项式,
可设为m(a^2+b^2+c^2)+n(ab+bc+ca),
即(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5=（a+b)(b+c)(c+a)[m(a^2+b^2+c^2)+n(ab+bc+ca)],
其中m,n是待定系数.
令a=1,b=1,c=0
得30＝2（2m+n),
令a=0,b=1,c=2
得210＝6（5m+2n),
解得：m=5,n=5,
所以(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5=5（a+b)(b+c)(c+a）[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca]