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如图,已知线段AB=6,在平面上有一动点P恒满足PA-PB=4,过点A作∠APB的角平分线的垂线,垂足为M,求△AMB的最大值.
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如图,已知线段AB=6,在平面上有一动点P恒满足PA-PB=4,过点A作∠APB的角平分线的垂线,垂足为M,求△AMB的最大值.
▼优质解答
答案和解析
延长AM交PB于C.
因为PM为角APB的平分线,因此PA=PC,MA=MC,
所以 BC=PC-PB=PA-PB=4,
SAMB=1/2*SACB=1/2*1/2*AB*BC*sin∠ABC=6sin∠ABC,
因此,当三角形AMB面积最大时,AB丄BC,即 PB丄AB,
此时 sin∠ABC=1 ,
所以 三角形AMB面积最大值=6 .
因为PM为角APB的平分线,因此PA=PC,MA=MC,
所以 BC=PC-PB=PA-PB=4,
SAMB=1/2*SACB=1/2*1/2*AB*BC*sin∠ABC=6sin∠ABC,
因此,当三角形AMB面积最大时,AB丄BC,即 PB丄AB,
此时 sin∠ABC=1 ,
所以 三角形AMB面积最大值=6 .
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