设异面直线、成角，它们的公垂线段为且，线段AB的长为4，两端点A、B分别在、上移动，则AB中点P的轨迹是。

Question

设异面直线 、 成 角，它们的公垂线段为 且 ，线段AB的长为4，两端点A、B分别在 、 上移动，则AB中点P的轨迹是              。

Answer 1

AB的中点P过EF的中点O且与 、 平行的平面 内，于是空间的问题转化为平面问题。取EF的中点O，过O作
则   、 确定平面 ,

且A在 内的射影必在 上，B在 内的射影必在 上，AB的中点P必在 H ,如图1所示。
又  
易得    ,
现求线段 在移动时，其中点P的轨迹。以 的平分线为 轴，O为原点，建立直角坐标系，如图2所示。不妨设 。在 中，    ①。设 的中点P的坐标为 ，则 ，即 ，代入①消去 、 ，得 ，于是得到的是椭圆②夹在 内的弧，在另外的情形中，同样得到椭圆②的其余弧，故点P的轨迹是EF的中垂面上以O为中心的椭圆 。