球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S-ABC的体积的最大值为．

Question

球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S-ABC的体积的最大值为 ___ ．

Answer 1

由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S-ABC的体积最大．
∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=(2)/(3)CH=(2√(3))/(3)．
在RT△SHO中，OH=(1)/(2)OC=(1)/(2)OS
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，
∴体积V=(1)/(3)Sh=(1)/(3)×(√(3))/(4)×2²×1=(√(3))/(3)．
故答案是(√(3))/(3)．