在四棱锥P-ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点．若异面直线PA与BE所成的角为45°．则该四锥的体积是．

Question

在四棱锥P-ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点．若异面直线PA与BE所成的角为45°．则该四锥的体积是___．

Answer 1

设底面ABCD的中心为O，连结PO，OE，AC，BD，则O是AC的中点，
∴OE∥PA，OE=(1)/(2)PA=1．∴∠BEO是异面直线PA，BE所成的角，即∠BEO=45°．
∵四棱锥的四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，
∴PO⊥平面ABCD，OB⊥OC，
∴PO⊥OB，
∴OB⊥平面PAC，∴OB⊥OE．
∴△BOE是等腰直角三角形，∴OB=OE=1．
∴BC=√(2)，PO=√(PB2-OB2)=√(3)．
∴四棱锥的体积V=(1)/(3)×BC2×PO=(1)/(3)×2×√(3)=(2√(3))/(3)．
故答案为(2√(3))/(3)．