已知数列{an}满足：a1=1，an+1=anan+2（n∈N*）．若bn+1=（n-λ）•（1an+1）（n∈N*），b1=-λ，且数列{bn}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．

Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=(an)/(an+2)（n∈N^*）．若b_n+1=（n-λ）•（(1)/(an)+1）（n∈N^*），b₁=-λ，且数列{b_n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

由a_n+1=(an)/(an+2)，得(1)/(an+1)=(2)/(an)+1，
则(1)/(an+1)+1=2((1)/(an)+1)，
由a₁=1，得(1)/(a1)+1=2，
∴数列{(1)/(an)+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴(1)/(an)+1=2n．
由b_n+1=（n-λ）•（(1)/(an)+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，
b₂=（1-λ）•2=2-2λ，
由b₂>b₁，得2-2λ>-λ，得λ<2，
此时b_n+1=（n-λ）•2ⁿ为增函数，满足题意．
∴实数λ的取值范围是（-∞，2）．