问一道初二图形题如图,矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线与F,点D是EF的中点,连接BD、DG,探究并证明BD与DG之间的数量关系.

Question

问一道初二图形题
如图,矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线与F,点D是EF的中点,连接BD、DG,探究并证明BD与DG之间的数量关系.

Answer 1

连接BG
∵矩形ABCD
∴AD＝BC,∠BAD＝∠ADC＝90,AB∥CD,AD∥BC
∵AF平分∠BAD
∴∠BAF＝∠DAF＝45
∴∠F＝∠DAF＝45
∴AD＝FD
∴FD＝BC
∵AD∥BC
∴∠BEA＝∠DAF＝45
∴∠CEF＝∠BEA＝45
∴∠CEF＝∠F
∴CE＝CF
∵G是EF的中点
∴CG⊥EF,∠BCG＝∠FCG＝45 （等腰三角形三线合一：中线、高、角平分线）
∴∠BCG＝∠F,CG＝FG
∴△BCG全等于△DFG
∴DG＝BG,∠BGC＝∠DGF
∵∠BGC＝∠BCD+∠CGD,∠DGF＝∠CGF+∠CGD
∴∠BCD＝∠CGF
又∵CG⊥EF
∴∠CGF＝90
∴∠BCD＝90
∴等腰直角△BGD
∴BD＝√2DG