已知矩形AEFD的两条对角线相交于点M（2,0）,AE边所在直线的方程为：x-3y-6=0,点T（已知矩形AEFD的两条对角线相交于点M（2,0）,AE边所在直线的方程为：x-3y-6=0,点T（-1,1）在AD边所在的直线上.（1

Question

已知矩形AEFD的两条对角线相交于点M（2,0）,AE边所在直线的方程为：x-3y-6=0,点T（
已知矩形AEFD的两条对角线相交于点M（2,0）,AE边所在直线的方程为：x-3y-6=0,
点T（-1,1）在AD边所在的直线上.
（1）求矩形AEFD外接圆P的方程.
（2）△ABC是圆P的内接三角形,其重心G的坐标是（1,1）,求直线BC的方程.

Answer 1

⑴由AE直线方程变形得：y=﹙1／3﹚x－2,
∵AE⊥AD,∴AD直线方程可设：y=－3x＋b,
将T坐标代入得：b=－2,
∴AD直线方程：y=－3x－2,
∴A点坐标为A﹙0,－2﹚,
∵MA=MF,∴由中点公式得F点坐标：F﹙4,2﹚,
∵DF∥AE,∴可设DF直线方程为：y=﹙1／3﹚x＋m,
将F点坐标代入得：m=2／3,
∴DF直线方程为：y=﹙1／3﹚x＋2／3,
∴由直线AD、DF可求D点坐标为D﹙－4／5,2／5﹚,
∴AM是圆M的半径,由勾股定理或两点之间距离公式求得MA=2√2,
∴矩形AEFD外接圆P的方程为：﹙x－2﹚²＋y²=﹙2√2﹚²=8.
⑵∵G点是重心,设BC边中线为AH,
则|AG|∶|GH|=2∶1,
∴H点坐标由定比分点公式求得H﹙3／2,5／2﹚,
∴设BC直线方程为：y=kx＋n,
将H点坐标代入得：5／2=﹙3／2﹚k＋n,
∴n=½﹙5－3k﹚,∴y=kx＋½﹙5－3k﹚,
代入圆P方程展开合并得：
一次项x的系数为：1－3k,
∵H点是BC中点,
∴3k－1=2×3／2,
∴k=4／3,
∴BC直线方程为：y=﹙4／3﹚x＋½.