如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC中点，(I)求证：BF⊥DM(Ⅱ)求二面角A-CD-E的余弦值．

Question

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC中点，
(I)求证：BF⊥DM
(Ⅱ)求二面角A-CD-E的余弦值．

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Answer 1

【分析】(I)设P为AD的中点，连接EP，PC，所以EFAPBC，所以FA∥EP，可得EP⊥平面ABCD，所以EP⊥PC，EP⊥AD，再结合直角三角形的性质可得：ED=CD，进而得到：DM⊥CE，又BF∥EC，所以DM⊥BF．
(3)设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A-CD-E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．

(I)证明：设P为AD的中点，连接EP，PC，
所以由已知，EFAPBC
∴EP=PC，FA∥EP，EC∥BF，AB∥PC…(2分)
又∵FA⊥平面ABCD，
∴EP⊥平面ABCD
因为PC、AD⊂平面ABCD
所以EP⊥PC，EP⊥AD
设FA=a，则EP=PC=PD=a，
∴…(5分)
∵M为EC的中点，
∴DM⊥CE
∵BF∥EC
∴DM⊥BF．…(6分)
(II)取CD的中点Q，连接PQ，EQ
由(I)知PC=PD，CE=DE
∴PQ⊥CD，EQ⊥CD
∴∠EQP为二面角A-CD-E的平面角…(10分)
由(I)可得，在等边ΔECD中
在等腰
在
故二面角A-CD-E的余弦值为．…(12分)

【点评】本小题考查线线垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．