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，BC=AD=．现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D-AC-B为直二面角．（Ⅰ）求二面角A-BD-C平面角的余弦值．（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积．
题目详情
，BC=AD=．现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D-AC-B为直二面角．（Ⅰ）求二面角A-BD-C平面角的余弦值．
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积．
▼优质解答
答案和解析
=（0，1，2），
=（2，4，0），
=（-2，1，0），
=（0，-4，2）
设平面ABD的法向量为
=（x，y，1），则
，∴
，∴
，
即=（4，-2，1）
设平面BCD的法向量为
=（1，b，c），则
，
，∴
即=（1，2，4）
∴cos＜，＞=
=
．
由图形知二面角A-BD-C平面角的余弦值为-．（8分）
（Ⅱ）设O为AC的中点，∵△ABC与△ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴O为四面体ABCD的外接球的球心．
∴四面体ABCD的体积
（12分）
=（0，1，2），=（2，4，0），=（-2，1，0），=（0，-4，2）设平面ABD的法向量为
=（x，y，1），则，∴，∴，即
=（4，-2，1）设平面BCD的法向量为
=（1，b，c），则，，∴即
=（1，2，4）∴cos＜
，＞==．由图形知二面角A-BD-C平面角的余弦值为-
．（8分）（Ⅱ）设O为AC的中点，∵△ABC与△ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴O为四面体ABCD的外接球的球心．
∴四面体ABCD的体积
（12分）
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