，BC=AD=．现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D-AC-B为直二面角．（Ⅰ）求二面角A-BD-C平面角的余弦值．（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积．

Question

，BC=AD=．现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D-AC-B为直二面角．
（Ⅰ）求二面角A-BD-C平面角的余弦值．
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积．

Answer 1

=（0，1，2），=（2，4，0），=（-2，1，0），=（0，-4，2）
设平面ABD的法向量为=（x，y，1），则，∴，∴，
即=（4，-2，1）
设平面BCD的法向量为=（1，b，c），则，，∴
即=（1，2，4）
∴cos＜，＞==．
由图形知二面角A-BD-C平面角的余弦值为-．（8分）
（Ⅱ）设O为AC的中点，∵△ABC与△ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴O为四面体ABCD的外接球的球心．
∴四面体ABCD的体积（12分）