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,BC=AD=.现沿着其对角线AC将D点向上翻折,使得二面角D-AC-B为直二面角.(Ⅰ)求二面角A-BD-C平面角的余弦值.(Ⅱ)求四面体ABCD外接球的体积.
题目详情
,BC=AD=
.现沿着其对角线AC将D点向上翻折,使得二面角D-AC-B为直二面角.(Ⅰ)求二面角A-BD-C平面角的余弦值.
(Ⅱ)求四面体ABCD外接球的体积.
▼优质解答
答案和解析
=(0,1,2),
=(2,4,0),
=(-2,1,0),
=(0,-4,2)
设平面ABD的法向量为
=(x,y,1),则
,∴
,∴
,
即
=(4,-2,1)
设平面BCD的法向量为
=(1,b,c),则
,
,∴
即
=(1,2,4)
∴cos<
,
>=
=
.
由图形知二面角A-BD-C平面角的余弦值为-
.(8分)
(Ⅱ)设O为AC的中点,∵△ABC与△ADC都为直角三角形,∴OA=OB=OC=OD,∴O为四面体ABCD的外接球的球心.
∴四面体ABCD的体积
(12分)                    
=(0,1,2),
=(2,4,0),
=(-2,1,0),
=(0,-4,2)设平面ABD的法向量为
=(x,y,1),则
,∴
,∴
,即
=(4,-2,1)设平面BCD的法向量为
=(1,b,c),则
,
,∴
即
=(1,2,4)∴cos<
,
>=
=
.由图形知二面角A-BD-C平面角的余弦值为-
.(8分)(Ⅱ)设O为AC的中点,∵△ABC与△ADC都为直角三角形,∴OA=OB=OC=OD,∴O为四面体ABCD的外接球的球心.
∴四面体ABCD的体积
(12分)                    
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