如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD，AB=1，SB=3．（1）求证：BC⊥SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．

Question

如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD，AB=1，SB=√(3)．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．

Answer 1

（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，
∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC；
（2）∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，
∴可把四棱锥S-ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S-ABCD，
如图2，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面BCSA₁所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC∥A₁S，∴SC⊥A₁S，
又SD⊥A₁S，∴∠CSD为所求二面角的平面角．
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=√(2)，
在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1．
∴∠CSD=45°，即面ASD与面BSC所成的二面角为45°．