如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1＝3．（1）证明：A1C⊥平面AB1C1；（2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．（3）求A1到平面A

Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1＝√(3)．
（1）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）若D是棱CC₁的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？证明你的结论．
（3）求A₁到平面AB₁C₁的距离．

Answer 1

（1）证明：由题意可得四边形A₁C₁CA是矩形，又AC＝√(AB2−BC2)＝√(3)=AA₁，
∴四边形A₁C₁CA是正方形，∴A₁C⊥AC₁．
∵BC⊥CA，CC₁⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面A₁C₁CA，∴BC⊥A₁C，
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁⊥A₁C．
又AC₁∩B₁C₁=C₁，∴A₁C⊥平面AB₁C₁．
（2）在棱AB上存在一点EW为AB的中点，使DE∥平面AB₁C₁．
证明：取AC的中点F，AB的中点E，连接DF、EF、DE．
由三角形中位线定理可得：DF∥AC₁，EF∥BC，即EF∥B₁C₁．
∵DF⊄平面AB₁C₁，AC₁⊂平面AB₁C₁．
∴DF∥平面AB₁C₁．
同理EF∥平面AB₁C₁．
而DF∩EF=F，∴平面EFD∥平面AB₁C₁．
∴DE∥平面AB₁C₁．
（3）设AC₁∩A₁C=O，由（1）可知：A₁O⊥平面AB₁C₁，
∴A₁O即为点A₁到平面AB₁C₁．的距离．
而A1O＝(1)/(2)A1C=(√(6))/(2)．
∴点A₁到平面AB₁C₁．的距离为(√(6))/(2)．