如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点.（1）求证：C1M⊥平面A1ABB1；（2）求证：A1B⊥AM；（3）求证：平面AMC1∥平面NB1C；

Question

如图所示，直三棱柱ABC—A ₁ B ₁ C ₁ 中，B ₁ C ₁ =A ₁ C ₁ ，AC ₁ ⊥A ₁ B，M、N分别是A ₁ B ₁ 、AB的中点.

（1）求证：C ₁ M⊥平面A ₁ ABB ₁ ；
（2）求证：A ₁ B⊥AM；
（3）求证：平面AMC ₁ ∥平面NB ₁ C；
（4）求A ₁ B与B ₁ C所成的角.

Answer 1

证明略，（4）A ₁ B与B ₁ C所成的角为90°

（1） 方法一 由直棱柱性质可得AA ₁ ⊥平面A ₁ B ₁ C ₁ ，

又∵C ₁ M 平面A ₁ B ₁ C ₁ ，∴AA ₁ ⊥MC ₁ .
又∵C ₁ A ₁ =C ₁ B ₁ ，M为A ₁ B ₁ 中点，∴C ₁ M⊥A ₁ B ₁ .
又A ₁ B ₁ ∩A ₁ A=A ₁ ，∴C ₁ M⊥平面AA ₁ B ₁ B.
方法二  由直棱柱性质得：平面AA ₁ B ₁ B⊥平面A ₁ B ₁ C ₁ ，交线为A ₁ B ₁ ，又∵C ₁ A ₁ =C ₁ B ₁ ，M为A ₁ B ₁ 的中点，
∴C ₁ M⊥A ₁ B ₁ 于M.
由面面垂直的性质定理可得C ₁ M⊥平面AA ₁ B ₁ B.
（2） 由（1）知C ₁ M⊥平面A ₁ ABB ₁ ，
∴C ₁ A在侧面AA ₁ B ₁ B上的射影为MA.
∵AC ₁ ⊥A ₁ B，MC ₁ ⊥A ₁ B，MC ₁ ∩AC ₁ =C ₁ ，
∴A ₁ B⊥平面AMC ₁ ，又AM 平面AMC ₁ ，∴A ₁ B⊥AM.
（3）方法一  由棱柱性质知四边形AA ₁ B ₁ B是矩形，
M、N分别是A ₁ B ₁ 、AB的中点，
∴AN B ₁ M.
∴四边形AMB ₁ N是平行四边形.
∴AM∥B ₁ N.
连接MN，在矩形AA ₁ B ₁ B中有
A ₁ B ₁ AB.
∴MB ₁   BN，∴四边形BB ₁ MN是平行四边形.
∴BB ₁   MN.又由BB ₁ CC ₁ ，知MN CC ₁ .
∴四边形MNCC ₁ 是平行四边形.∴C ₁ M CN.
又C ₁ M∩AM=M，CN∩NB ₁ =N，
∴平面AMC ₁ ∥平面NB ₁ C.
方法二 由（1）知C ₁ M⊥平面AA ₁ B ₁ B，
A ₁ B 平面AA ₁ B ₁ B，∴C ₁ M⊥A ₁ B.
又∵A ₁ B⊥AC ₁ ，而AC ₁ ∩C ₁ M=C ₁ ，
∴A ₁ B⊥平面AMC ₁ .
同理可证，A ₁ B⊥平面B ₁ NC.
∴平面AMC ₁ ∥平面B ₁ NC.
(4) 方法一 由（2）知A ₁ B⊥AM，
又由已知A ₁ B⊥AC ₁ ，AM∩AC ₁ =A，
∴A ₁ B⊥平面AMC ₁ .
又∵平面AMC ₁ ∥平面NB ₁ C，
∴A ₁ B⊥平面NB ₁ C.
又B ₁ C 平面NB ₁ C，∴A ₁ B⊥B ₁ C.
∴A ₁ B与B ₁ C所成的角为90°.
方法二 由直棱柱的性质有平面ABC⊥平面AA ₁ B ₁ B，交线为AB，又CA=CB=C ₁ A ₁ ，N为AB的中点，
∴CN⊥AB.
∴CN⊥平面AA ₁ B ₁ B.
∴CB ₁ 在侧面AA ₁ B ₁ B上的射影是NB ₁ .
又由（2）知A ₁ B⊥AM，由（3）知B ₁ N∥AM，
∴A ₁ B⊥B ₁ N，CN⊥A ₁ B，
∴A ₁ B⊥平面B ₁ NC，又B ₁ C 平面B ₁ NC，∴A ₁ B⊥B ₁ C.
∴A ₁ B与B ₁ C所成的角为90°.