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一个楔子形状几何体的直观图如图所示,其底面ABCD为一个矩形,其中AB=6,AD=4,顶部线段EF∥平面ABCD,棱EA=ED=FB=FC=62,二面角F-BC-A的余弦值为1717.设M,N分别是AD,BC的中点.(I)证明:平面
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一个楔子形状几何体的直观图如图所示,其底面ABCD为一个矩形,其中AB=6,AD=4,顶部线段EF∥平面ABCD,棱EA=ED=FB=FC=6
,二面角F-BC-A的余弦值为
.设M,N分别是AD,BC的中点.
(I)证明:平面EFNM⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值.

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(I)证明:平面EFNM⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值.

▼优质解答
答案和解析
(I)证明:∵EF∥平面ABCD,且EF⊂平面EFAB,
又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB,
∴EF∥AB,
又M,N是平行四形ABCD两边AD,BC的中点,
∴MN∥AB,
∴EF∥MN,
∴E,F,M,N四点共面.
∵FB=FC,
∴BC⊥FN,
又∵BC⊥AB,
∴BC⊥MN,
∵FN∩MN=N,
∴BC⊥平面EFNM,
∵BC⊂平面ABCD,
∴平面EFNM⊥平面ABCD;
(Ⅱ) 在平面EFNM内F做MN的垂线,垂足为H,则由第(I)问可知:BC⊥平面EFNM,则平面ABCD⊥平面EFNM,∴FH⊥平面ABCD,
又∵FN⊥BC,HN⊥BC,∴二面角F-BC-A的平面角为∠FNH.
在Rt△FNB和Rt△FNH中,FN=
,HNHN=FNcos∠FNH=2,∴FH=8,
过H做边AB,CD的垂线,垂足为S,Q,
以H为坐标原点,以HS,HN,HF方向为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,
则F(0,0,8),S(2,0,0),C(-2,2,0),D(-2,-4,0),
则
=(2,2,-8),
=(-2,2,-8),
=(0,-6,0)
设平面EFCD的一个法向量为
=(x,y,z),
则
,取z=1,得
=(-4,0,1),
设直线BF与平面EFCD所成角为θ,则sinθ=
=

又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB,
∴EF∥AB,
又M,N是平行四形ABCD两边AD,BC的中点,
∴MN∥AB,
∴EF∥MN,
∴E,F,M,N四点共面.
∵FB=FC,
∴BC⊥FN,
又∵BC⊥AB,
∴BC⊥MN,
∵FN∩MN=N,
∴BC⊥平面EFNM,
∵BC⊂平面ABCD,
∴平面EFNM⊥平面ABCD;
(Ⅱ) 在平面EFNM内F做MN的垂线,垂足为H,则由第(I)问可知:BC⊥平面EFNM,则平面ABCD⊥平面EFNM,∴FH⊥平面ABCD,
又∵FN⊥BC,HN⊥BC,∴二面角F-BC-A的平面角为∠FNH.
在Rt△FNB和Rt△FNH中,FN=
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过H做边AB,CD的垂线,垂足为S,Q,
以H为坐标原点,以HS,HN,HF方向为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,
则F(0,0,8),S(2,0,0),C(-2,2,0),D(-2,-4,0),
则
FB |
FC |
CD |
设平面EFCD的一个法向量为
n |
则
|
n |
设直线BF与平面EFCD所成角为θ,则sinθ=
|-8-8| | ||||
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