圆内接锐角三角形ABC,分别连接AO、BO、CO交BC、AC、AB于D、E、F,求证1/AD+1/BE+1/CF=2/R,用平面几何知识用平面几何知识解答,急

Question

圆内接锐角三角形ABC,分别连接AO、BO、CO交BC、AC、AB于D、E、F,求证1/AD+1/BE+1/CF=2/R,用平面几何知识
用平面几何知识解答,急

Answer 1

证明：分别作三角形ABC和三角形OBC的高AH和OG
则 AH//OG
所以 OD/AD=OG/AH
因为 三角形OBC的面积/三角形ABC的面积＝OG/AH
所以 三角形OBC的面积/三角形ABC的面积＝OD/AD
同理 三角形OAC的面积/三角形ABC的面积＝OE/BE
三角形OAB的面积/三角形ABC的面积＝OF/CF
三式相加可得：OD/AD+OE/BE+OF/CF=1
因为 OD/AD=(AD--AO)/AD=1--AO/AD
OE/BE=1--BO/BE
OF/CF=1--CO/CF
所以 （1--AO/AD)+(1--BO/BE)+(1--CO/CF)=1
即：AO/AD+BO/BE+CO/CF=2
因为AO=BO=CO=R
所以 R/AD+R/BE+R/CF=2
即：1/AD+1/BE+1/CF=2/R.