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(2013•宝山区一模)已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上,OP=m(m为常数且m≠0),移动直角三角板,两边分别交射线OA,OB与点C,D(1)如图,当点
题目详情

(1)如图,当点C、D都不与点O重合时,求证:PC=PD;
(2)联结CD,交OM于E,设CD=x,PE=y,求y与x之间的函数关系式;
(3)如图,若三角板的一条直角边与射线OB交于点D,另一直角边与直线OA,直线OB分别交于点C,F,且△PDF与△OCD相似,求OD的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:作PH⊥OA于H,PN⊥OB于N,
则∠PHC=∠PND=90°,
则∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD,
∵OM是∠AOB的平分线
∴PH=PN,∠POB=45°,
∵在△PCH与△PDN中,
,
∴△PCH≌△PDN(ASA)
∴PC=PD;
(2)∵PC=PD,
∴∠PDC=45°,
∴∠POB=∠PDC,
∵∠DPE=∠OPD,
∴△PDE∽△POD,
∴PE:PD=PD:PO,
又∵PD2=
CD2,
∴PE=
x2,即y与x之间的函数关系式为y=
x2;

(3)①如图1,点C在AO上时,∵∠PDF>∠CDO,
令△PDF∽△OCD,
∴∠DFP=∠CDO,
∴CF=CD,
∵CO⊥DF
∴OF=OD
∴OD=
DF=OP=m;
②如图2,点C在AO的延长线上时,
△PDF与△OCD相似,若∠2=∠PFD,则PC∥CD,与PC、DC相交于点C矛盾,
所以,只能是∠1=∠2,
由(1)可知PC=PD,
∴△PCD是等腰直角三角形,
∴∠1+∠2=45°,
∴∠1=22.5°,
过点P作PG⊥OM交OD于G,
∵∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,
∴△POG是等腰直角三角形,
∴OG=
OP=
m,
PG=OP=m,
∵∠1+∠3=∠PGO=45°,
∴∠3=22.5°,
∴∠1=∠3,
∴PG=DG=m,
∴OD=OG+DG=
m+m=(

则∠PHC=∠PND=90°,
则∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD,
∵OM是∠AOB的平分线
∴PH=PN,∠POB=45°,
∵在△PCH与△PDN中,
|
∴△PCH≌△PDN(ASA)
∴PC=PD;
(2)∵PC=PD,
∴∠PDC=45°,
∴∠POB=∠PDC,
∵∠DPE=∠OPD,
∴△PDE∽△POD,
∴PE:PD=PD:PO,
又∵PD2=
1 |
2 |
∴PE=
1 |
2m |
1 |
2m |

(3)①如图1,点C在AO上时,∵∠PDF>∠CDO,
令△PDF∽△OCD,
∴∠DFP=∠CDO,
∴CF=CD,
∵CO⊥DF
∴OF=OD
∴OD=
1 |
2 |
②如图2,点C在AO的延长线上时,
△PDF与△OCD相似,若∠2=∠PFD,则PC∥CD,与PC、DC相交于点C矛盾,
所以,只能是∠1=∠2,
由(1)可知PC=PD,
∴△PCD是等腰直角三角形,
∴∠1+∠2=45°,
∴∠1=22.5°,
过点P作PG⊥OM交OD于G,
∵∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,
∴△POG是等腰直角三角形,
∴OG=
2 |
2 |
PG=OP=m,
∵∠1+∠3=∠PGO=45°,
∴∠3=22.5°,
∴∠1=∠3,
∴PG=DG=m,
∴OD=OG+DG=
2 |
作业帮用户
2017-11-07
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