△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点做∠MDN=60°若∠MDN的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接M、N,求证：MN=BM+CN

Question

△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点做∠MDN=60°若∠MDN的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接M、N,求证：MN=BM+CN

Answer 1

延长MB至G,使BG=CN,连接GD
1）
∵ △BDC是顶角∠BDC为120度的等腰△
∴ BD=DC,∠CBD=∠BCD=30度
∵ △ABC是等边△
∴ ∠ABC=∠ACB=60度
∴ ∠CBD+∠ABC=∠BCD+∠ACB=90度
∴ ∠ABD=∠ACD=90度
∵ ∠DBG=180-90=90度
∴ ∠DBE=∠ACD=90
∵ BD=DC,BE=CN
∴ △BGD≌△CND
∴ DE=DN,∠GDB=∠NDC
∴ ∠GDN=∠BDC
2）又
∵ ∠BDC=120度
∴ ∠GDN=∠BDC=120度
∵ ∠MDN=60度
∴ ∠GDM=120-60=60度
∴ ∠GDM=∠MDN
∵ DE=DN,DM=DM
∴ △GDM≌△NDM
∴ MN=MG
∵ MG=BM+BG,BG=CN
∴ MN=BM+CN