a,b>0,m>n>0,比较大小（a的m次方＋b的m次方）的n次方与（a的n次方＋b的n次方）的m次方

Question

a,b>0,m>n>0,比较大小（a的m次方＋b的m次方）的n次方与（a的n次方＋b的n次方）的m次方

Answer 1

[[[[[[注:预备知识.
函数f(x)=[1+(t^x)]^(1/x). ( 0＜t＜1, x＞0)
即:t^x是t的x次方, [1+(t^x)]^(1/x)是方括号的1/x次方.
易知,恒有f(x)＞0.解析式两边取对数,
ln[f(x)]=[1+(t^x)]/x
两边关于x求导,
f'(x)/f(x)={[x(t^x)(lnt)]-[1+(t^x)]ln[1+(t^x)]}/{[1+(t^x)]x²}.
∵lnt＜0.
∴f'(x)＜0. (你把式子写出来,慢慢看,可以懂得.)
∴在(0,+∞)上,函数f(x)递减
∴f(m)＜f(n).]]]]]]]]]]]]]]]]]]
解
[[[[[[[[[1]]]]]]]]]]]
当a≠b时,不妨设a＞b＞0.可设b/a=t.
即b=at. (0＜t＜1)
[(a^m)+(b^m)]^n=[a^(mn)]×[1+(t^m)]^n
[(a^n)+(b^n)]^m=[a^(mn)]×[1+(t^n)]^m
∴此时,仅仅需要比较
[1+(t^n)]^m, 与[1+(t^m)]^n的大小
由上面可得
1＜[1+(t^m)]^(1/m)＜[1+(t^n)]^(1/n)
∴[1+(t^m)]^n＜[1+(t^n)]^m
∴综上可知
题目中的式子,左＜右
[[[[[[2]]]]
当a=b时,
左=(2^n)×a^(mn). 右=(2^m)×a^(mn)
∵m＞n＞0
∴2^m＞2^n
∴左＜右
综上可知
左＜右