如图,圆o是三角形abc的外接圆,ab为直径,角bac的角平分线交圆o与点d,过点d的切线分别交ab,ac的延长线与点e, f.求证af垂直ef.af+cf=ab

Question

如图,圆o是三角形abc的外接圆,ab为直径,角bac的角平分线交圆o与点d,过点d的切线分别交ab,ac的延长线与点e, f.求证af垂直ef.af+cf=ab

Answer 1

连接OD,因为EF是圆的切线,可知OD⊥EF

△AOD为等腰三角形,∴∠2=∠3,AD平分∠CAO,可知∠1=∠2,得出∠1=∠3,内错角相等,可以得出AF∥OD,OD⊥EF,那么AF⊥EF.


连接CB,因为AB为直径,∠ACB就等于90°,CB就平行于EF.做BK⊥EF,四边形FCBK就是长方形,∴CF=BK.
明显地,△EAF∽△EOD∽△EBK,为了简便,设BE=x,圆半径为R,根据相似三角形比例性质：
AF/OD=AF/R=AE/OE=(2R+x)/(R+x),可知：AF=R*(2R+x)/(R+x)
OD/CF=OD/BK=R/CF=(R+x)/x,可知：CF=Rx/(R+x）


AF+CF=R*(2R+x)/(R+x)+Rx/(R+x）=2R,即可求证AF+CF=AB.