在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22，D是线段AB的垂直平分线上的一点，D到AB的距离为2，过C的曲线E上任一点P满足|PA|+|PB|为常数．（1）建立适当的坐标系，并求出曲线E的方程．（2）过点D的直

Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=(√(2))/(2)，D是线段AB的垂直平分线上的一点，D到AB的距离为2，过C的曲线E上任一点P满足|

PA

|+|

PB

|为常数．
（1）建立适当的坐标系，并求出曲线E的方程．
（2）过点D的直线l与曲线E相交于不同的两点M，N，且M点在D，N之间，若|

DM

|=λ|

DN

|，求λ的取值范围．

Answer 1

（1）设AB的中点为O．以AB，OD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则由已知得：|

PA

|+|

PB

|=|CA|+|CB|=(√(2))/(2)+(3√(2))/(2)=2√(2)＞2＝|AB|，
∴动点的轨迹方程为以A，B为焦点的椭圆，并且a＝√(2)，c＝1，b＝1，
∴曲线E的方程为(x2)/(2)+y2＝1．…（4分）
（2）当直线l与y轴重合时，DM＝1，DN＝3，λ＝(DM)/(作业帮用户2017-10-29举报问题解析（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，根据|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=(√(2))/(2)+(3√(2))/(2)=2√(2)＞2＝|AB|，判断出曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则首先可知a，根据|AB|=4求得c，则b可求得，进而求得椭圆的方程．（2）设直线l的方程代入椭圆方程，消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据韦达定理求得x1+x2和x1+x2的表达式，将x1=λx2代入两式相除，根据k的范围求得λ的范围，进而根据M在D、N中间，判断出λ＜1，综合可得答案．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．考点点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，是高考题常考的类型．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)