如图,三角形ABC内接于圆O,AD平分角BAC,延长BC到P,使PD=PA,求证：D是圆O的切线

Question

如图,三角形ABC内接于圆O,AD平分角BAC,延长BC到P,使PD=PA,求证：D是圆O的切线
 

Answer 1

延长AO交园边于点K,连接KC并延长交AP于E
∵∠B=∠K（两角都是弦AC的圆周角相等）
∵∠PDA=∠PAD ( PA=PD已知,等边对等角）
且∠CAD=∠DAB (AD平分∠DAB)
∴∠PAD-∠CAD=∠PAC
  ∠PDA-∠DAB=∠B
就是 ∠PAC=∠B=∠K --- 第1
∵∠AEC=∠AEK (公共角）
且根据 第1 点
∴△EAK∽△ACE
∵∠ACK=90°（ 直径所对的圆周角是90°）
∴∠AEK=∠ACK=90°（ 相似三角形对应角相等）
∴圆的直径AK⊥PA
∴PA就是圆的切线