如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，延长BC到E，使得CE=AD，连接DE．（1）求证：BD=DE．（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长．

Question

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，延长BC到E，使得CE=AD，连接DE．

（1）求证：BD=DE．
（2）若AC⊥BD，AD=3，S_ABCD=16，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，CE=AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，
∴BD=DE．
（2）过点D作DF⊥BC于点F，

∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=3，AC∥DE，
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
∵BD=DE，
∴S_△BDE=(1)/(2)BD•DE=(1)/(2)BD²=(1)/(2)BE•DF=(1)/(2)（BC+CE）•DF=(1)/(2)（BC+AD）•DF=S_梯形ABCD=16，
∴BD=4√(2)，
∴BE=√(2)BD=8，
∴DF=BF=EF=(1)/(2)BE=4，
∴CF=EF-CE=1，
∴由勾股定理得AB=CD=√(CF2+DF2)=√(17)．