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求定积分 根号下e^x/根号下（e^x+e^-x) dx x>o,
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求定积分 根号下e^x/根号下（e^x+e^-x) dx x>o,<1
▼优质解答
答案和解析
这是求不定积分还是定积分?积分区间呢?
∫ √e^x/√(e^x + e^-x) dx = ∫ √e^x/√[1 + e^(2x)]/√e^x dx = ∫ d(e^x)/√[1 + e^(2x)]
令e^x = tanθ,d(e^x) = sec²θ dθ
原式= ∫ sec²θ/√(1 + tan²θ) dθ = ∫ sec²θ/√(sec²θ) dθ = ∫ secθ dθ
= ln|secθ + tanθ| + C
= ln|tanθ + √(1 + tan²θ)| + C
= ln|e^x + √[1 + e^(2x)| + C
如果积分区间是0≤x≤1,则定积分
= ln[e + √(1 + e²)] - ln(1 + √2)
= ln{ [e + √(1 + e²)]/(1 + √2) } ≈ 0.844
∫ √e^x/√(e^x + e^-x) dx = ∫ √e^x/√[1 + e^(2x)]/√e^x dx = ∫ d(e^x)/√[1 + e^(2x)]
令e^x = tanθ,d(e^x) = sec²θ dθ
原式= ∫ sec²θ/√(1 + tan²θ) dθ = ∫ sec²θ/√(sec²θ) dθ = ∫ secθ dθ
= ln|secθ + tanθ| + C
= ln|tanθ + √(1 + tan²θ)| + C
= ln|e^x + √[1 + e^(2x)| + C
如果积分区间是0≤x≤1,则定积分
= ln[e + √(1 + e²)] - ln(1 + √2)
= ln{ [e + √(1 + e²)]/(1 + √2) } ≈ 0.844
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