正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积为49π49π．

Question

正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积为

(4)/(9)π

(4)/(9)π

．

Answer 1

如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，
连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
∵AB=2，
∴DE=(√(3))/(3)，
∵PD=1，
∴PE=(2√(3))/(3)
∴S_△PBC=(1)/(2)×2×(2√(3))/(3)=(2√(3))/(3)
设球的半径为r，以球心O为顶点，
棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
则(1)/(3)×(√(3))/(4)×4×1=(1)/(3)×((√(3))/(4)×4+3×(2√(3))/(3))r，
∴r=(1)/(3)，
∴球的表面积为(4)/(9)π．
故答案为：(4)/(9)π．