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某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为108πml.设圆柱的高度为hcm,底面半径半径为rcm,且h≥4r,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积
题目详情
某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为108πml.设圆柱的高度为hcm,底面半径半径为rcm,且h≥4r,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关,已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm2,易拉罐上下底面的制造费用均为n元/cm2(m,n为常数)

(1)写出易拉罐的制造费用y(元)关于r(cm)的函数表达式,并求其定义域;
(2)求易拉罐制造费用最低时r(cm)的值.

(1)写出易拉罐的制造费用y(元)关于r(cm)的函数表达式,并求其定义域;
(2)求易拉罐制造费用最低时r(cm)的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意,体积V=πr2h,得h=
=
.
y=2πrh×m+2πr2×n=2π (
+nr2).…(4分)
因为h≥4r,即
≥4r,所以r≤3,即所求函数定义域为(0,3].…(6分)
(2)令f(r)=
+nr2,则f'(r)=-
+2nr.
由f'(r)=0,解得r=3
.
①若3
.<1,当n>2m时,3
.∈(0,3],由
得,当r=3
.时,f(r)有最小值,此时易拉罐制造费用最低.…(10分)
②若3

V |
πr2 |
108 |
r2 |
y=2πrh×m+2πr2×n=2π (
108m |
r |
因为h≥4r,即
108 |
r2 |
(2)令f(r)=
108m |
r |
108m |
r2 |
由f'(r)=0,解得r=3
3 |
| ||
①若3
3 |
| ||
3 |
| ||
R | (0,3
| 3
| (3
| |||||||||||||||
f'(r) | - | 0 | + | |||||||||||||||
f(r) | 减 | 增 |
3 |
| ||
②若3
3 |
| ||
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