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某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为108πml.设圆柱的高度为hcm,底面半径半径为rcm,且h≥4r,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积

题目详情
某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为108πml.设圆柱的高度为hcm,底面半径半径为rcm,且h≥4r,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关,已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm2,易拉罐上下底面的制造费用均为n元/cm2(m,n为常数)
作业帮
(1)写出易拉罐的制造费用y(元)关于r(cm)的函数表达式,并求其定义域;
(2)求易拉罐制造费用最低时r(cm)的值.
▼优质解答
答案和解析
作业帮 (1)由题意,体积V=πr2h,得h=
V
πr2
=
108
r2

y=2πrh×m+2πr2×n=2π (
108m
r
+nr2).…(4分)
因为h≥4r,即
108
r2
≥4r,所以r≤3,即所求函数定义域为(0,3].…(6分)
(2)令f(r)=
108m
r
+nr2,则f'(r)=-
108m
r2
+2nr.
由f'(r)=0,解得r=3
3
2m
n

①若3
3
2m
n
.<1,当n>2m时,3
3
2m
n
.∈(0,3],由
R(0,3
3
2m
n
).
3
3
2m
n
3
3
2m
n
.,3]
f'(r)-0+
f(r)
得,当r=3
3
2m
n
.时,f(r)有最小值,此时易拉罐制造费用最低.…(10分)
②若3
作业帮用户 2017-05-14
问题解析
(1)由题意,体积V=πr2h,可求得h,再由易拉罐的制造费用公式求得费用,根据函数得意义求得定义域.
(2)利用导数求出函数的单调区间,继而求得函数在定义域内的最值.
名师点评
本题考点:
导数在最大值、最小值问题中的应用
考点点评:
本题主要考查导数在实际应用题中的应用,利用导数求得单调区间求出满足题意的结果.属于中档题型,在高考中时有考查.
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3
2m
n