如图：已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，O1、O分别是上、下底面的中心，A1O⊥平面ABCD．（1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；（2）若点E在棱AA1上，且AE=2EA1，问在棱BC上是否存在点F，使得EF

Question

如图：已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，O₁、O分别是上、下底面的中心，A₁O⊥平面ABCD．

（1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若点E在棱AA1上，且AE=2EA₁，问在棱BC上是否存在点F，使得EF⊥BC？若存在，求出其位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

证明：（1）连接AC、BD、A₁C₁则AC、BD的交点，O₁为A₁C₁中点
∴四边形ACC₁A₁为平行四边形，
∴四边形A₁O₁CO为平行四边形（2分）
∴A₁O∥CO₁
∵A₁O⊥平面ABCD
∴O₁C⊥平面ABCD（4分）
∵O₁C⊂平面O₁DC
∴平面O₁DC⊥平面ABCD（5分）
（2）F为BC的三等分点B（靠近B）时，有EF⊥BC（6分）
过点E作EH⊥AC于H，连FH、EF
∵平面A₁AO⊥平面ABCD
∴EH⊥平面ABCD
又BC⊂平面ABCD∴BC⊥EH①
∵(AE)/(AA1)＝(2)/(3)EH∥A1O
∴(AH)/(AC)＝(1)/(3)，又∵(BF)/(BC)＝(1)/(3)
∴HF∥AB∴HF⊥BC，②
由①②知，BC⊥平面EFH，
∵EF⊂平面EFH，
∴EF⊥BC（12分）