高中数学解析几何一道题在等腰梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2AD,设∠DAB=Θ,Θ∈（0,π/2),以A， B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为 e2，随着Θ增大e1的变化趋势

Question

高中数学解析几何一道题

在等腰梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2AD,设∠DAB=Θ,Θ∈（0,π/2),以A， B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为 e2，随着Θ增大e1的变化趋势（增or减）？e1e2的值？麻烦给出详细解释，感激不尽

Answer 1

不妨令AB=4,AD=2,
CD=4-4cosθ,
ΔABD中,余弦定理得：BD=√(20-16cosθ)=2√(5-4cosθ)
在双曲线中：c=2,2a=BD-AD=2√(5-4cosθ)-2
e₁=c/a=2/[√(5-4cosθ)-1]
在椭圆中：c=2-2cosθ,2a=BC+BD= 2√(5-4cosθ)+2
e₂=c /a=(1-cosθ)/[√(5-4cosθ)+1]
e₁ e₂=2(1-cosθ)/(4-4cosθ)=1
e₁=c/a=2/[√(5-4cosθ)-1]中：
θ∈（0,π/2),cosθ递减,5-4cosθ递增,√(5-4cosθ)-1递增,∴e₁递减,
∵ e₁ e₂=1,∴ e₂递增