1.已知正三菱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一个底面在正三菱锥的底面上,若正三菱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱柱的侧面积为120c㎡（1）求正三

Question

1.已知正三菱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一个底面在正三菱锥的底面上,若正三菱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱柱的侧面积为120c㎡
（1）求正三棱柱的高；
（2）求棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比
2.倒立圆锥形容器的轴截面是正三角形,内盛水的深度为6cm,水面距离容器口距离为1cm,现放入一个棱长为4cm的正方形实心铁块,让正方体一个面与水平面平行,问容器中的水是否会溢出?

Answer 1

1.设正三棱柱的上下底面中心分别为O1,O,SO1=xcm,则
OO1=15-x,
由棱柱两底面平行得,棱柱底面边长=12x/15=4x/5,
∴棱柱侧面积=3*4x/5*(15-x)=120,
x(15-x)=50,x^2-15x+50=0,
x1=5,x2=10.
(1)正三棱柱的高为10cm或5cm.
(2)棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比
=(x/15)^2=1/9或4/9.
2.过正方体的对角线作圆锥的轴截面OMN,正方体底面对角线两端A,C分别在OM,ON上,AC的中点为O1,AO1=2√2,OO1=2√6,2√6+4=8.899>7,
16(7-2√6）-（π/3）[7(7/√3）^2-6(6/√3)^2]
=16(7-2√6）-（π/3）(127/3)
≈-10.7