（2014•安徽二模）如图，在水平面上有一弹簧，其左端与墙壁相连，O点为弹簧原长位置，O点左侧水平面光滑．水平段OP长L=1m，P点右侧一与水平方向成θ=30°角的皮带轮与水平面在p点平滑连

Question

（2014•安徽二模）如图，在水平面上有一弹簧，其左端与墙壁相连，O点为弹簧原长位置，O点左侧水平面光滑．水平段OP长L=1m，P点右侧一与水平方向成θ=30°角的皮带轮与水平面在p点平滑连接，皮带轮逆时针动，速度为3m/s．一质量为1kg可视为质点的物块A压缩弹簧（与弹簧不连接），弹性势能E_p=9J，物块与OP段动摩擦因素μ₁=0.1；另一与A完全相同的物块B停在P点，B与皮带轮的摩擦因素μ₂=(√(3))/(3)，皮带轮足够长．A与B的碰撞为弹性碰撞且碰撞事件不计，重力加速度g取10m/s²，现释放A，求：
（1）物块A与B第一次碰撞前的速度；
（2）A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前B运动的时间；
（3）A、B碰撞的次数．

Answer 1

（1）设物块质量为m，A与B第一次碰撞前的速度为v₀，由动能定理：
E_p-μ₁mgl=(1)/(2)m

v

2 0

    
解得：v₀=4m/s       
（2）设A、B第次碰撞后的速度分别为v_A，v_B，由动量守恒和机械能守恒得：
mv₀=mv_A+mv_B，
 (1)/(2)m

v

2 0

=(1)/(2)m

v

2 A

+(1)/(2)m

v

2 B

   
解得：v_A=0，v_B=4m/s   
碰后B沿皮带轮向上匀减速运动直至速度为零，加速度大小设为a₁，由牛顿第二定律：
a₁=(mgsinθ+μ2mgcosθ)/(m)=gsinθ+μ₂gcosθ=10m/s²
运动的时间为：t₁=(vB)/(a1)=0.4s
运动的位移为：x₁=(vB)/(2)t₁=0.8m
此后B开始向下加速，加速度仍为a₁，速度与皮带轮速度v相等时匀速运动，设加速时间为t₂，位移为x₂，匀速时间为t₃
则有：t₂=(v)/(a1)=0.3s，x₂=(v)/(2)t2=0.45m，t₃=(x1-x2)/(v)=0.117s
A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前B运动的时间为：t=t₁+t₂+t₃=0.817s
（3）B与A第二次碰撞，两者速度再次互换，此后A向左运动再返回与B碰撞，B沿皮带轮向上运动再原速返回，重复这一过程直至两者不再碰撞．每一次过程中损失的机械能为2μ₁mgl，设第二次碰撞后重复的过程数为n，则：
(1)/(2)mv2=n×2μ₁mgl
解得：n=2.25   
故两者碰撞的次数为6次  
答：（1）物块A与B第一次碰撞前的速度为4m/s；
（2）A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前B运动的时间为0.817s；
（3）A、B碰撞的次数为6次．