为什么∫dx/√(a^2+x^2)=∫1/asect*asec^2tdt注令x=atant.主要是不明白为何dx=asec^2tdt

Question

为什么∫dx/√(a^2+x^2)=∫1/asect*asec^2tdt注令x=atant.主要是不明白为何dx=asec^2tdt

Answer 1

为什么∫dx/√(a²+x²)=∫1/asect*asec²tdt注令x=atant.求详解过程,主要是不明白为何dx=asec²tdt
令x=atant,故dx=(a/cos²t)dt=asec²tdt,这不是很明白的吗?
于是∫dx/√(a²+x²)=∫(asec²tdt)/[a√(1+tan²t)]=∫sec²tdt/sect=∫sectdt=ln(sect+tant)+C
=ln[tan(t/2+π/4)]+C=ln{tan[(1/2)arctan(x/a)+π/4]+C
【原式∫dx/√(a²+x²)=∫1/asect*asec²tdt是错的!】