已知函数f(x)＝x(1+lnx)x−1，(x＞1)（1）设x0为函数f（x）的极值点，求证：f（x0）=x0；（2）若当x＞1时，xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，求正整数k的最大值．

Question

已知函数f(x)＝(x(1+lnx))/(x−1)，(x＞1)
（1）设x₀为函数f（x）的极值点，求证：f（x₀）=x₀；
（2）若当x＞1时，xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，求正整数k的最大值．

Answer 1

（1）∵f(x)＝(x(1+lnx))/(x−1)，(x＞1)，∴f′(x)＝(x−2−lnx)/((x−1)2)，
∵x₀为函数f（x）的极值点，∴f'（x₀）=0，
即x₀-2-lnx₀=0，于是x₀-1=1+lnx₀，
故f(x0)＝(x0(1+lnx0))/(x0−1)＝(x0(x0−1))/(x0−1)＝x0．
（2）xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，分离参数得k＜(x(1+lnx))/(x−1)＝f(x)．
则x＞1时，f（x）＞k恒成立，只需f（x）_min＞k，f′(x)＝(x−2−lnx)/((x−1)2)，
记g（x）=x-2-lnx，∴g′(x)＝1−(1)/(x)＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上递增，又g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上存在唯一的实根x₀，且满足x₀∈（3，4），
∴当1＜x＜x₀时g（x）＜0，即f'（x）＜0；当x＞x₀时g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）_min=f（x₀）=x₀∈（3，4），
故正整数k的最大值为3．