如图，已知多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE∥..12CD，△ABC是正三角形．（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面BCD；（Ⅱ）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．

Question

如图，已知多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE

∥

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(1)/(2)CD，△ABC是正三角形．
（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取BC、BD的中点M、N，连接AM、EN和MN，
则MN

∥

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(1)/(2)CD．
∵AE

∥

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(1)/(2)CD，∴MN

∥

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AE，
又AE⊥平面ABC，AM⊆面ABC，∴AE⊥AM，
∴ABMN为矩形，∴NE⊥MN．
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，
∵△ACD为正三角形，N为CD的中点，
∴AN⊥CD，又面CDE∩面ACD=CD，
∴AN⊥面CDE，∴CM⊥面CDE，∴面BCE⊥面CDE；
（Ⅱ）过C作直线l∥AB，则l∥DE，
∴面ABC∩面EDC=l．
∵AB⊥平面ACD，∴l⊥面ACD，
∴∠ACD即为所求二面角的平面角，为60⁰．