（2011•黑龙江一模）已知三棱柱ABC-A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC中点．（1）求证：直线AF∥平面BEC1；（2）求平面BEC1和平面ABC所成的锐

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（2011•黑龙江一模）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E为AA₁的中点，F为BC中点．
（1）求证：直线AF∥平面BEC₁；
（2）求平面BEC₁和平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

▼优质解答

答案和解析

法一（1）取BC₁的中点为R，连接RE，RF，

则RF∥CC₁，AE∥CC₁，且AE=RF，…（3分）
则四边形AFRE为平行四边形，
则AF∥RE，AF⊄平面REC₁．RE⊂平面REC₁．∴AF∥平面REC₁．…（6分）
（2）延长C₁E交CA延长线于点Q，连接QB，
则QB即为平面BEC₁与平面ABC的交线，
由于EA∥C1C，E为AA₁的中点，∴A为QC中点，∴QA=AC=AB，
∴∠ABQ=∠AQB=

∠CAB=30°，
∴∠CBQ=∠CBA+∠ABQ=60°+30°=90°，
∴BC⊥BQ，又QB⊥B1B，∴QB⊥面C₁CBB₁，
∴C₁B⊥BQ，

则∠C₁BC为平面BEC₁和平面ABC所成的锐二面角的平面角．…（8分）
在△BCC₁中，cos∠C1BC＝

BC1

＝

BC2+CC12

＝

平面BEC₁和平面ABC所成的锐二面角的余弦值为

．…（12分）
法二取B₁C₁中点为S，连接FS，
以点F为坐标原点，FA为x轴，FB为y轴，FS为z轴建立空间直角坐标系，
则A(

，0，0)，B(0，1，0)，F(0，0，0)，C(0，−1，0)，A1(