如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离．

Question

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离．

Answer 1

（I）∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥AE，
∵二面角D-AB-E为直二面角，
∴平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，
又BF⊂平面BCE，BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE．

（II）连接AC、BD交于G，连接FG，
∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵BF⊥平面ACE，BG⊥AC，⇒AC⊥平面BFG，
∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，
又AE=EB，AB=2，AE=BE=

2

，
在直角三角形BCE中，CE=

B C 2 +B E 2

=

6

，BF= (BC•BE)/(CE) = (22)/(6) = (2)/(3)
在正方形中，BG=

2

，在直角三角形BFG中，sin∠FGB= (BF)/(BG) = ((2)/(3))/(2) = (6)/(3)
∴二面角B-AC-E为arcsin (6)/(3) ．

（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为 (2)/(3) = (23)/(3) ．
另法：过点E作EO⊥AB交AB于点O．OE=1．
∵二面角D-AB-E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD．
设D到平面ACE的距离为h，
∵V _D-ACE =V _E-ACD ，∴ (1)/(3) S △ACB •h= (1)/(3) S △ACD •EO．
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC．∴h= ((1)/(2)AD•DC•EO)/((1)/(2)AE•EC) = ((1)/(2)×2×2×1)/((1)/(2)2×6) = (23)/(3)
∴点D到平面ACE的距离为 (23)/(3) ．

解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，
过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图．
∵AE⊥面BCE，BE⊂面BCE，∴AE⊥BE，
在Rt△AEB中，AB=2，O为AB的中点，
∴OE=1．∴A（0，-1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），

AE

=（1，1，0），

AC

=（0，2，2）
设平面AEC的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

AE

•

n

=0

AC

•

n

=0

，即

x+y=0

2y+2x=0.

，
解得

y=-x

z=x

，
令x=1，得

n

=（1，-1，1）是平面AEC的一个法向量．
又平面BAC的一个法向量为

m

=（1，0，0），
∴cos（

m

，

n

）= (m，n)/(|m|•|n|) = (1)/(3) = (3)/(3) ．
∴二面角B-AC-E的大小为arccos (3)/(3)
（III）∵AD ∥ z轴，AD=2，∴

AD

=（0，0，2），
∴点D到平面ACE的距离d=|

AD

|•|cos＜

AD

，

n

＞= (|AD•n|)/(|n|) = (2)/(3) = (2)/(3)

3

．