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已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
题目详情
已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）证明：∵∠ABC=90°，∴CB⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥PA，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）∵ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
∴以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=BC=2，AD=1，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，1，0），P（0，0，2），
∴
=（2，0，-2），
=（2，2，-2），
设平面PBC的法向量
＝(x，y，z)，
则
•
＝0，
•
＝0，
∴
∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥PA，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）∵ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
∴以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=BC=2，AD=1，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，1，0），P（0，0，2），
∴
| PB |
| PC |
设平面PBC的法向量
| m |
则
| m |
| PB |
| m |
| PC |
∴
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