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设集合Sn={1,2,3,,n),若X是Sn的子集,把X中所有元素的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集.(I)写出S4的所有奇子
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设集合S n ={1,2,3,,n),若X是S n 的子集,把X中所有元素的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为S n 的奇(偶)子集. (I)写出S 4 的所有奇子集; (Ⅱ)求证:S n 的奇子集与偶子集个数相等; (Ⅲ)求证:当n≥3时,S n 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. |
▼优质解答
答案和解析
(I)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析 |
试题分析:(I)根据奇子集的定义可直接得出,注意应按规律一一列出以防重写或漏写。(Ⅱ)取S n 的任意一个奇子集 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 试题解析:(I) ![]() (Ⅱ)对于S n 的每个奇子集 ![]() 当 ![]() ![]() ![]() ![]() 则 ![]() ![]() 反之,若 ![]() ![]() 当 ![]() ![]() ![]() ![]() 则 ![]() ![]() ![]() ![]() (Ⅲ)对于任意 ![]() 当 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 当 ![]() 可知 ![]() 综合(1)(2),每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数相等。 所以S n 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。 |
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